तरंग समीकरण और तरंगों के प्रकार: Wave Equation and Types of Waves:
इस पाठ के अंत तक हम -
1. मैं तरंगों से संबंधित समीकरणों का वर्णन कर सकता हूं।
2. हम तरंग लंबाई, आवृत्ति और वेग के बीच गणितीय संबंध निर्धारित कर सकते हैं।
3. अनुप्रस्थ तरंग और अनुदैर्ध्य तरंग में अंतर स्पष्ट कीजिए और समझाइए।
तरंगों से संबंधित कुछ समीकरण:
full pulse
जब तरंग उत्पन्न करने वाला कण एक बिंदु से शुरू होकर उसी दिशा में उस बिंदु पर वापस आ जाता है, तो इसे पूर्ण नाड़ी कहा जाता है। आकृति में, एक कण समय-समय पर बिंदुओं A और B के बीच दोलन कर रहा है। बिंदु O कण की संतुलन स्थिति है। कण को बिंदु A से ऊपर की ओर जाने दें, बिंदु O तक ऊपर जाएं और बिंदु B पर नीचे जाएं, और फिर कण बिंदु O से बिंदु A तक नीचे चला जाता है। इस प्रकार बिंदु A से O तक और पीछे से बिंदु A तक एक पूर्ण नाड़ी है।
Duration: अवधि:
एक कण को एक पूर्ण दोलन पूरा करने के लिए एक तरंग बनाने में लगने वाले समय को तरंग की अवधि कहा जाता है। अवधि को टी द्वारा दर्शाया गया है। अवधि की इकाई दूसरी है।
frequency: आवृत्ति:
एक तरंग उत्पन्न करने वाला कण एक ही आवर्त में जितने पूर्ण दोलन करता है, उस तरंग की आवृत्ति कहलाती है। आवृत्ति f द्वारा निरूपित की जाती है। कॉसपंक की इकाई हर्ट्ज़ (Hz) है।
मान लें कि तरंग में एक कण समय t पर N पूर्ण दोलनों की संख्या को पूरा करता है। तब T एक बार में एक पूर्ण नाड़ी पूरा करता है ।
इसलिए आवृत्ति, . ............ (1)
पुनः, समय T पर तरंग का कोई भी कण 1 पूर्ण दोलन पूरा करता है।
तब T एक बार में एक पूर्ण नाड़ी पूरा करता है ।
इसलिए, आवृत्ति, . ............ (2)
समीकरण (1) और (2) से हम पाते हैं,
मैं
Expansion: विस्तार:
किसी तरंग-उत्पादक कण द्वारा अपनी संतुलन स्थिति से किसी भी दिशा में तय की गई अधिकतम दूरी को तरंग का प्रसार कहा जाता है। उपरोक्त आकृति में कण ने अपनी संतुलन स्थिति O से अधिकतम बिंदु B तक की दूरी OB ऊपर की ओर तय की है और संतुलन स्थिति O से न्यूनतम बिंदु D तक की दूरी O"D नीचे की ओर है। तरंग प्रसार OB या O'C या O"D आकृति के अनुसार।
Quality:
किसी भी क्षण तरंग उत्पन्न करने वाले कण की गति की अवस्था को उसकी अवस्था कहते हैं। किसी भी क्षण गति की स्थिति का अर्थ है किसी भी समय कण का विस्थापन, वेग, त्वरण आदि।
उपरोक्त आरेख में, बिंदु p और q पर संतुलन की स्थिति से दो कणों का विस्थापन, वेग, त्वरण समान हैं। इनकी गति की दिशा भी समान होती है। इसलिए दो कण एक ही दशा या समादशा या समदशा वाले कणों में होते हैं। इसी प्रकार, आकृति के बिंदु R और S के कणों में दो सममिति होती है।
वेव क्रेस्ट और वेव ट्रफ: वेव एडवांस के दौरान उच्चतम और निम्नतम बिंदु पहुंचे। इसका उच्चतम बिंदु शीर्ष कहलाता है और इसका निम्नतम बिंदु पाद बिंदु कहलाता है। ये दोनों बिंदु संतुलन के लंबवत स्थित हैं। इसलिए संतुलन से तरंग के धनात्मक पक्ष के लंबवत अधिकतम विस्थापन या प्रसार के बिंदु को तरंग शीर्ष कहा जाता है और नकारात्मक दिशा में अधिकतम विस्थापन या प्रसार के बिंदु को तरंग पाद कहा जाता है। लहरें कई तरंग आधारों और तरंग शिखाओं से बनती हैं। उपरोक्त आरेख में B, C, आदि वेव टॉप्स और D, E, आदि वेव बॉटम्स को दर्शाते हैं।
Wave Length: लहर की लंबाई:
तरंग ले जाने वाले कण को एक पूर्ण नाड़ी को पूरा करने में जितना समय लगता है, तरंग द्वारा तय की गई दूरी को तरंग लंबाई कहा जाता है। तरंगदैर्घ्य एक तरंग पर दो क्रमागत समान कणों के बीच की दूरी है। उपरोक्त आकृति में बिंदु B और C के बीच की दूरी BC है और D और E, DE के बीच की दूरी तरंग दैर्ध्य है। यह ग्रीक अक्षर (लैम्ब्डा) द्वारा व्यक्त किया जाता है। दो क्रमागत तरंग शीर्षों या दो क्रमागत तरंग गर्तों के बीच की दूरी भी एक तरंग लंबाई होती है।
तरंग वेग:
तरंग-उत्पादक कण द्वारा एक निश्चित समय में दी गई दिशा में तय की गई दूरी को तरंग वेग या केवल तरंग वेग कहा जाता है। तरंग वेग v द्वारा व्यक्त किया जाता है।
जैसा कि हम जानते हैं, तरंग में एक कण समय T (अवधि) में की दूरी तय करता है।
अत: इकाई समय में तय की गई दूरी = .
तो तरंग वेग,
या,
[
] ................(3)
Relationship between frequency and duration: आवृत्ति और अवधि के बीच संबंध:
एक तरंग उत्पन्न करने वाला कण एक ही आवर्त में जितने पूर्ण दोलन करता है, उस तरंग की आवृत्ति कहलाती है।
मान लें कि तरंग में एक कण समय t पर N पूर्ण दोलनों की संख्या को पूरा करता है। तब T एक बार में एक पूर्ण नाड़ी पूरा करता है ।
इसलिए आवृत्ति, .
पुनः, समय T पर तरंग का कोई भी कण 1 t का पूर्ण दोलन पूरा करता है।
तब T एक बार में एक पूर्ण नाड़ी पूरा करता है ।
इसलिए, आवृत्ति, . यह समीकरण आवृत्ति और अवधि के बीच संबंध को इंगित करता है।
Relationship Between Wave Length and Wave Velocity: तरंग लंबाई और तरंग वेग के बीच संबंध:
तरंग-उत्पादक कण द्वारा एक निश्चित समय में दी गई दिशा में तय की गई दूरी को तरंग वेग या केवल तरंग वेग कहा जाता है। तरंग वेग v द्वारा व्यक्त किया जाता है।
जैसा कि हम जानते हैं, तरंग में एक कण समय T (अवधि) में की दूरी तय करता है।
अत: इकाई समय में तय की गई दूरी = .
तो तरंग वेग,
………………………(4)
पुनः, एक तरंग उत्पन्न करने वाला कण एक ही आवर्त में जितने पूर्ण दोलन करता है, उस तरंग की आवृत्ति कहलाती है।
जैसा कि हम जानते हैं, समय T में तरंग का कोई भी कण 1 पूर्ण दोलन पूरा करता है।
तब T एक बार में एक पूर्ण नाड़ी पूरा करता है ।
इसलिए, आवृत्ति, . ...................(5)
समीकरण (4) और (5) से हम पाते हैं,
[
]
यह समीकरण तरंग की लंबाई और तरंग गति के बीच संबंध को दर्शाता है।
तरंगों के प्रकार:
इस पाठ में हमने सीखा कि एक प्रकार के तरंग संचरण के लिए एक निष्क्रिय माध्यम की आवश्यकता होती है। एक अन्य प्रकार की तरंग के लिए किसी माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है। पहले प्रकार की तरंग को यांत्रिक तरंग और दूसरे प्रकार की तरंग को विद्युत चुम्बकीय तरंग कहा जाता है। माध्यम में कणों के कंपन से उत्पन्न यांत्रिक तरंगें दो प्रकार की होती हैं-
(1) अनुप्रस्थ तरंग और Transverse wave and
(2) अनुदैर्ध्य तरंगें। Longitudinal waves.
अनुप्रस्थ तरंग:
पानी में लहरें तब बनती हैं जब पानी के कण पानी की सतह से ऊपर और नीचे जाते हैं। लेकिन लहरें पानी की सतह या पानी की मेज पर आगे फैलती हैं। ऐसी तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं। अर्थात वह तरंग जो माध्यम में कणों के कंपन की दिशा में समकोण पर चलती है, अनुप्रस्थ तरंग कहलाती है। अर्थात् तरंग प्रवाह की दिशा माध्यम के कंपन की दिशा के लंबवत होती है।
 |
| अनुप्रस्थ तरंग ऊपर की आकृति में, एक अनुप्रस्थ तरंग माध्यम में एक कण के कंपन की दिशा और तरंग प्रवाह की दिशा को दिखाया गया है। यहां माध्यम में ऑक्स अक्ष के साथ कण कंपन की दिशा और ओए अक्ष के साथ तरंग प्रवाह की दिशा एक दूसरे के समकोण पर होती है। अनुप्रस्थ तरंगों की तरंग दैर्ध्य: अनुप्रस्थ तरंगों के बिंदु A, B, C तरंग शिखर होते हैं। फिर से बिंदु P, Q, R तरंग के पाद हैं। यहाँ दो क्रमागत तरंग शीर्ष A, B या दो क्रमागत तरंग आधार Q, R या एक ही प्रावस्था के दो क्रमागत बिंदुओं अर्थात b, d या e, g के बीच की दूरी तरंगदैर्घ्य के साथ बनती है। चूंकि यह तरंग माध्यम में कणों के कंपन की दिशा में समकोण या अनुप्रस्थ रूप से यात्रा करती है, इसे अनुप्रस्थ तरंग या अनुप्रस्थ तरंग कहा जाता है। प्रकाश तरंगें, रेडियो तरंगें, जल तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें हैं। |
अनुदैर्ध्य तरंगें:
एक लचीले स्प्रिंग का एक सिरा एक दीवार से बंधा होता है और दूसरा सिरा तना हुआ होता है। लेकिन अगला भाग फैला हुआ है और बहुत जल्दी यह सिकुड़ा हुआ हिस्सा आगे बढ़ता है और पश्चवर्ती कुंडल का विस्तार करता है। इस प्रकार संकुचन-विस्तार एक सिरे से दूसरे सिरे तक प्रगति कर रहा है। ऊपर की आकृति में, अनुदैर्ध्य तरंग माध्यम में कणों के कंपन की दिशा तरंग प्रवाह की दिशा में देखी जाती है, वसंत की कुंडलियां अपनी-अपनी स्थिति से आगे बढ़ रही हैं या कंपन कर रही हैं लेकिन कंपन एक छोर से दूसरे छोर तक प्रसारित होता है समाप्त। यह गोलाकार गति है। यह गति अक्रिय माध्यम में ऊर्जा को एक बिंदु से दूसरे स्थान पर स्थानांतरित करती है, लेकिन माध्यम के कण गति नहीं करते हैं, यह एक प्रकार की तरंग है। इसका नाम अनुदैर्ध्य तरंग है। |
अनुदैर्ध्य तरंगें:
अतः वह तरंग जो माध्यम में कणों के कंपन की दिशा के साथ तरंग प्रवाह की दिशा के समानांतर चलती है, अनुदैर्ध्य तरंग कहलाती है। अनुदैर्ध्य तरंगें माध्यम में कणों के संकुचन और विस्तार के माध्यम से फैलती हैं। एक संकुचन और एक फैलाव एक तरंग दैर्ध्य बनाने के लिए गठबंधन करते हैं। चित्र में R और C क्रमशः विस्तारित और संकुचित खंड हैं। इस मामले में कोई शिखा या शिखा नहीं है और a से b तक की लंबाई तरंग दैर्ध्य (λ) है। |
